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Heaviside函数
Heaviside函数 \(H(x)\) 定义为：
\[
H(x) =
\begin{cases}
0, & x < 0 \\
1, & x \geq 0
\end{cases}
\]
平滑版本
\[
H_\varepsilon(\phi) = \frac{1}{1 + e^{-\phi / \varepsilon}}
\]
- \(\phi\)：水平集函数；
- \(\varepsilon\)：控制过渡平滑程度的正数；
- 当 \(\varepsilon \to 0 \(时，\)H_\varepsilon(\phi) \to H(\phi)\)。
MMC拓扑优化数学表达式（最小柔度）
\[
\text{Find} \quad D = ((D^1)^T, \ldots, (D^n)^T), \quad u(x) \in \Omega'(D)\\
\min \quad I = \int_{\Omega(D)} H\left(\phi^{*}(x, D)\right) f \cdot u \, dV + \int_{\Gamma_t} t \cdot u \, dS \tag{1}
\]
\[
s.t.
\int_{\Omega(D)} H\left(\phi^{*}(x, D)\right) E : \varepsilon(u) \, dV = \int_{\Omega(D)} H\left(\phi^{*}(x, D)\right) f \cdot v \, dV + \int_{\Gamma_t} t \cdot v \, dS, \quad \forall v \in U_{ad} \\\tag{2}
\]
\[
V - \bar{V} = \int_{\Omega(D)} H\left(\phi^{*}(x, D)\right) \, dV - \bar{V} \leq 0 \tag{3}
\]
\[
u = \bar{u}, \quad \text{on} \quad \Gamma_u \tag{4}
\]
其中(1)为目标函数，(2)-(4)为约束条件
目标函数
- \(D\) 是设计变量集合，表示所有可变形组件的参数。
- 每个 \(D^i\) 可能包括一个组件的位置、尺寸、方向等几何参数（如 \(x_{0i}\)、\(y_{0i}\)、\(\theta_i\)、\(L_i\) 等）。
- \((D^i)^T\) 表示将这些参数向量转置，形成一个列向量。
- \(u(x)\) 是位移场，即结构在载荷作用下的变形响应。
- \(\Omega'(D)\) 是设计域，它依赖于设计变量 \(D\) —— 这意味着结构的几何形状会随着 \(D\) 的变化而变化。
约束条件(1)
体积约束，限制结构使用的材料总量不能超过给定的上限 \(\bar{V}\)。
- \(V\)：实际使用材料的体积
- \(\bar{V}\)：允许的最大体积（设计约束）
- \(H(\phi^{*})\)：用于判断某点是否为材料区域
- 目的： 防止过度使用材料，实现轻量化设计。
约束条件(2)
边界条件，强制位移
- \(\Gamma_u\)：固定边界（如夹具处）
- \(\bar{u}\)：给定的位移（通常是 0，表示固定）
设计变量范围约束(3)
设计变量 \(D\) 必须在某个可行域 \(U_D\) 内
\[
D \subset U_D
\]
- 位置不能超出设计域
- 尺寸不能为负
- 角度在 \([0, 2\pi)\) 范围内